Varoitus: Lukeminen omalla vastuulla!

Tämä artikkeli saattaa herättää ajatuksia, joita ei voi olla kertomatta!

Piti laittaa tällainen vuodatus tänne piiloon, että on ainakin nähtävä vaivaa lukeakseen.

Wiikkotehtävien merkitys? Mitä olen oppinut viikkotehtävistä? Onko näitä viikkotehtäviä pakko olla?

Useat keskustelut muiden auskujen kanssa eivät ole tuoneet ratkaisua! Kyllä joissakin tehtävissä on jotakin ideaa (?), mutta sen toteuttaminen viikkotehtävän muodossa epäonnistuu! En osaa edes pedagogisten jälkeen antaa vaihtoehtoista ratkaisua. Tämä voi johtua siitäkin, että minulla jos muillakaan ei ole kovin selkeätä käsitystä siitä, mihin viikkotehtävillä pyritään.

Viikkotehtävien tekeminen pitäisi sisällyttää omiin opetettuihin tunteihin tai seurattuihin tehtäviin. Esimerkiksi voisi olla viikkotehtävänä tehdä oppilaille samantyylisiä harjoitteita, kuin meillä auskuilla on nyt teetetty ja raportoida tehtävistä suoriutumista ja niihin suhtautumista ym.ym. Yhtä toimiva voisi olla seurata ja raportoida jonkun opettajan tunti, jonka aikana ratkaistiin matemaattista ajattelua ja ongelmanratkaisua kehittävä tehtävä.

Viikkotehtävän pakollisuus voisi olla blogitus. Osa meistä on tehnyt hyvin raporttia blogiin ajatuksistaan, niin turhista kuin tärkeistäkin. Mutta osa, kuten minäkin, on antanut ajan rullata vaivautumatta edes katsomaan, mitä muut ovat blogiinsa kirjoittaneet. Viikkotehtävissä saa olla huumoria, mutta opettajaharjoittelussa voisi alustapitäen tähdätä siihen, että blogista tehdään näyteportfolio, joka voi olla merkittävä lisä työnhaussa JA SAAMISESSA (työn)!

No tässäpä sitä tuli, ja kommentoida saa!!! Tehkää se myös omiin blogeihinne, että minä en saa kaikkea lokaa omaan blogiini.

Kysymyksiä jäi paljon, ja jään jännityksellä odottamaan lanseeraantuuko pedagogisten suorittaneille sana “viikkotehtävämäinen”. Merkitystä voivat kaikki pohtia tahoillaan…

Miksi avoimia tehtäviä tai vähintäänkin tarinallisia tehtäviä kannattaisi suosia enemmän koulussa?

Avoimet tehtävät ovat usein tuttuja arkipäivän ongelmia. Lisäksi matemaattinen ajattelu kehittyy ja opitun asian soveltaminen konkretisoituu.

1.Olohuoneen pituus on 6,0 m, leveys 4,0 m ja korkeus 2,5 m. Mitä kaikkea näillä tiedoilla voidaan laskea?

Esim. Pinta-alat, tilavuus, huoneen avaruuslävistäjät, tahkojen lävistäjät…

2.Kiven massa on 500 g, talon korkeus on 8 m ja Lasse (68 kg) juoksee 100 m ajassa 12,5 s, 200 m vie 26 s ja 300 m 40 s. Lisäksi talon seinää vasten nojaa tikkaat, joiden massa on 20 kg ja pituus 6 m. Mitä kaikkea näillä tiedoilla saadaan selvitettyä?

Piirrä mallikuva, katso kuvasta!

3.Liisa väittää, että kahden murtoluvun välissä oleva murtoluku löydetään aina ottamalla osoittajien välissä oleva arvo ja nimittäjien välissä oleva arvo. Esimerkkinä Liisa antaa, että murtolukujen 1/3 ja 3/5 välissä on 2/4, koska 1 < 2 < 3 ja 3 < 4 < 5 . Oletko samaa mieltä Liisan kanssa? Perustele antamasi vastaus.

Usein pääsen helpommalla, kun olen samaa mieltä (vaimoni kanssa). Tässä tapauksessa en ole. Esim. 4<6<7 ja 5<10<15, mutta 4/5>6/10 ja 6/10>7/15.

4.Etsi seitsemän mahdollisimman erilaiselta näyttävää toisen asteen yhtälöä, joiden kaikkien ratkaisut ovat  x = -4 ja x = +3.

(x + 4)(x – 3) = 0
x² + 12x – 12 = 0
2x² – 12 = –24x

48x – 48 = - 4x²
0,5x² – 6(1 – x) = 0
x(x-3) + 4x + 12 = 0
x² + 2ABx – AB = 0, missä A = 4 ja B = 3.

5.Suklaamunan muoto vastaa keskimääräistä kananmunan muotoa. Pakkausselosteesta löytyy tieto munien sisältämän suklaan massasta. Onko mahdollista selvittää laskemalla, munaa rikkomatta, missä myynnissä olevista munista on suklaakuori paksuin. (Fazerin Mignon-munaa ei saa käyttää ?

Itse en keksinyt tähän laskennallista ratkaisua. Kokeellisesti ja päättelemällä tehtävä on mahdollisesti ratkaistavissa. Laskennallinen ratkaisu vaatisi lisätietoja, esim. suklaan tiheys, suklaamunan pinnan muodostava pintafunktio (?).

6.Kemisti kaatoi pääsiäisaterian jälkiruokaa valmistaessaan vahingossa suolapurkin ja perunajauhot pöydälle, ja sotku oli valmis. Säästäväisenä ja näppäränä henkilönä hän ei heittänyt seosta roskiin, vaan päätti erottaa aineet toisistaan. Mitä hän teki?

Olkoon suolapurkki lasia. Tällöin suolapurkin voi nostaa oikealla kädellä (vast. vasen käsi) perunajauhojen seasta esim. kohtisuorasti ylöspäin, jolloin suolapurkki ja jauhot on erotettu.

Vastaavasti menetellään pahvi- ja muovipakkausten kanssa.

7.Tällä välin fyysikko-ystävänsä pohti lahjaksi saamansa kummallisen tiimalasin toimintaa. Tiimalasissa oli hiekkaa, mutta siellä oli myös jotain nestettä. Kummallinen se oli siksi, että hiekka ei valu alaspäin, kun tiimalasin kääntää, vaan hiekka nousee ylöspäin. Miten se on mahdollista?

Nesteen tiheys on hiekan tiheyttä suurempi.

Pedagogiset opinnot ja jaettu asiantuntijuus

Tutustu jaetun asiantuntijuuden –käsitteeseen esim. osoitteessa http://www.tutkiva.edu.hel.fi/jaettu.html

Pohdi jaetun asiantuntijuuden merkitystä itsellesi pedagogisten opintojen yhteydessä. Millainen rooli sinulla on asiantuntijana? Entä opettajillasi? Muilla opiskelijoilla? Koululla, jossa harjoittelet? Ohjaavilla opettajilla? Oppilailla?

Jaettu asiantuntijuus tuli kuluvan vuoden opinnoissa ehkä parhaiten esille yleispedagogiikan kurssilla, erityisesti sen opettajanhuonesimulaatioissa ja ilman ohjaavaa opettajaa. Tuolloin kaikki osallistujat halusivat antaa oman panoksensa keskusteluun.

Jaetussa asiantuntijuudessa opettajilla oli opastajan rooli. Ohjaavat opettajat antoivat vinkkejä ja omia näkemyksiään esim. tuntisuunnitelmiin ja muihin tunnin järjestelyihin. Koulu antaa puitteet soveltaa jaettua asiantuntijuutta opetuksessa. Kaiken kaikkiaan jaetussa asiantuntijuudessa on ideana se, että tietoa jaetaan ja saadaan. Jaettu tieto ei häviä jakajalta vaan sitä vastoin se syvenee.

Mitä jaettu asiantuntijuus voisi merkitä tulevassa (opettajan) työssäsi?

Kollegiaalinen oppiminen on jaettua asiantuntijuutta parhaimmillaan. Esim. tuntien/kurssikokeiden suunnittelu kollegojen kanssa. Kurinpidollisten menetelmien pohtiminen kollegiaalisesti.

Yleisesti voi tieteellisen teorian ”loogisessa rungossa” esiintyä abstrakteja käsitteitä kuten

esimerkiksi aika, avaruus, voima, massapiste, massapisteen paikka, nopeus ja kiihtyvyys jonakin

ajankohtana, lämpö, piste, suora, taso etc. Teorian looginen runko esittää näiden keskinäiset suhteet

ja ikään kuin määrittelee ne implisiittisesti.

Mallin kautta saadaan näkemyksellinen tulkinta teorian loogiselle rungolle. Matemaattisen logiikan

edustaja Jouko Väänänen on verrannut mallin käsitettä shakkipeliin näin: ”on yhdentekevää ovatko

nappulat puuta tai muovia, kunhan niiden keskinäiset suhteet ovat tiedossa”.

A) Newtonin mekaniikan aksioomat (Niiniluodon mukaan esitettynä):

· N1) Kappale pysyy levossa tai tasaisessa liikkeessä suoraviivaista rataa pitkin, ellei

mikään voima vaikuta siihen.

· N2) Liiketilan muutos on verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja se tapahtuu

vaikuttavan voiman suuntaan.

· N3) Jokaista vaikutusta vastaa yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen vastavaikutus.

Mikä on yllä olevan aksiomatiikan N1) – N3) aiottu malli? Ideoi sille myös jokin toinen malli.

Aiottu malli: Minkä tahansa olemassa olevien kappaleiden liike ja niihin vaikuttavat voimat.

Toinen malli: Ks. Kahkosloki! Loistavaa Mika!

B) Määritellään sitten ryhmä. Olkoon joukko X epätyhjä.

Siinä määritelty laskutoimitus on kuvaus

X ´ X ® X . Kuvausta voimme merkitä vaikkapa symbolilla o . Silloin voimme kirjoittaa

x o y = o(x, y) . Yleisesti (yhden laskutoimituksen) algebrallinen struktuuri on järjestetty pari (X, o ):

Siis eityhjä

joukko varustettuna laskutoimituksella. Laskutoimituksen määritelmään sisältyy

sulkeutuvuusehto:

(G ) xÎ X ja yÎ X Þ x o y Î X 0 .

Joillekin yhden laskutoimituksen struktuureille annetaan niiden keskeisyyden vuoksi nimet.

Algebrallinen struktuuri (X, o ) on puoliryhmä, jos o on liitännäinen eli assosiatiivinen, ts.

(G ) x ( y z) = (x y) z kaikilla x, y, zÎ X 1 o o o o .

Puoliryhmä on monoidi, jos

( ) : : . 2 G $eÎ X “xÎ X x o e = e o x = x

Alkiota e sanotaan neutraalialkioksi.

Monoidi on ryhmä, jos

G “xÎ X $x- x x- = x- x = e 1 o 1 1 o

3 ( ) : : .

(käänteisalkion eli inverssin olemassaolo)

Käänteisalkionimitys

ei ole täysin hyvä; hyvä nimitys voisi olla ”neutraloiva alkio”, mutta se ei ole

vakiintunut. Samoin käytettyä parempi merkintä voisi olla vaikkapa x’.

Jos em. struktuureissa o on vaihdannainen eli kommutatiitivinen, ts. jos on voimassa vaihdantalaki

( ) , , 4 G x o y = y o x “x yÎ X

niin struktuurit saavat etuliitteen Abelin.

Näin määritellään siis Abelin puoliryhmä, Abelin monoidi

ja Abelin ryhmä. (N.H. Abel, 18021829,

norjalainen matemaatikko).

Abelin ryhmä.
B) Ideoi ainakin viisi eri mallia tai tulkintaa ryhmän määrittävälle abstraktille rakenteelle. Voit etsiä malleja myös pelkästään puoliryhmälle tai monoidille.

Abelin ryhmiä:
Kokonaisluvut ja yhteenlasku
Reaaliluvut ja yhteenlasku
Positiiviset reaaliluvut ja kertolasku
Kompleksiluvut ja yhteenlasku
R^mxn-matriisit ja yhteenlasku

C) Vitsi:

Missä aurinko paistaa ristiin?
-No tietty hautausmaalla!

Ja vastaava:

Mikä kuu on kuumin?

- Heinäkuu

E) Selvitä faabelin käsite. Miten se eroaa sadusta? Kumpaa suosit kasvattajana, satua vai faabelia?

Faabeli on vertauskuvallinen, yleensä moraalisen opetuksen sisältävä kertomus ihmisistä ja yhteiskunnasta. Se on usein puettu eläinsadun muotoon, jossa eläimille tai kasveille on annettu inhimillisiä piirteitä. Satua suosittelen kasvattajana pienille lapsille ja faabelia vanhemmille. Pienille lapsille on varmasti tärkeää saada hyvä ja onnellinen kuva maailmasta. Vanhempi ymmärtää jo osittain maailman pahuutta ja ymmärtää myös faabelin opetuksen.

F) Mitä erikoista liittyy Poincarén epäeuklidisen geometrian malliin? Voit lukea asian taustoja

esimerkiksi työpäiväkirjastani nro 9 viime syksyn geometrian kurssilta. Kurssi löytyy moodlesta ja

sen salasana on geometria08.

Kolmion kulmien summa on riippuvainen sen koosta. Suora on ympyrän kaari.

Maailmankuvalla tarkoitetaan niiden käsitystemme kokonaisuutta, jotka koskevat luontoa, ihmistä ja yhteiskuntaa. Maailmankuva on tieteellinen, jos nuo käsitykset kytkeytyvät tieteellisen menetelmän käyttöön.

Maailmankatsomus koostuu maailmankuvasta ja siihen liittyvistä yleisistä tieto-opillisista ja olevan luonnetta koskevista näkemyksistä ja arvostuksista.

Elämänkatsomus on puolestaan käsitysten kokonaisuus ihmiselämän tarkoituksesta ja mielekkyydestä. Sen voi ajatella olevan osa maailmankatsomuksesta.

1. Hahmottele pääpiirteittäin oman pääaine-tieteesi tutkimuskohde ja tutkimusmenetelmät.
   Matematiikka etsii yleisesti voimassa olevia lauseita, jotka pohjautuvat perusoletuksiin.
2. Arvioi ja analysoi oman pääaine-tieteesi merkitystä ja antia aikamme ihmisen maailmankuvan muodostumisen kannalta.
   Lehtori Männistö: ” Jos on lukenut pitkää matematiikkaa, osaa ajatella.” Matematiikka syventää ihmisten rationaalista ajattelua.
3. Milloin pääaine-tieteesi väittämä on totta? Älä tyydy tässä triviaaleihin vastauksiin. Anna myös esimerkkejä!
   Jos se on todistettu todeksi, on se totta. Välivaihtoehtoa ei ole. Esim. Pythagoraan lause.
4. Tutki ilmaisuskeeman ”x on olemassa” käyttöä eri matemaattisissa tieteissä.
   x on jokin luku, joka esiintyy jossakin avaruudessa.
   x voi olla jokin lause (esim. predikaattilogiikassa)
5. Millaisia maailmankatsomuksen elementtejä pääaine-tieteesi pitäisi mielestäsi tarjota oppilaille/opiskelijoille? Entä kuinka tässä mielestäsi tarjonta ja kysyntä kohtaavat?
   Matematiikan pitää tarjota ja väistämättä tarjoaakin loogisen ajattelun välineitä. Kysyntä ja tarjonta kohtaavat hyvin.
6. Arvioi oman (opettaja-) persoonasi merkitystä oppilaiden/opiskelijoiden elämänkatsomuksen muotoutumisen kannalta. Analysoi myös tähän kenties kytkeytyviä vastuukysymyksiä.
   Väistämättä opettaja tuo luokkaan omia arvojaan puheissaan ja käytöksessään. Oppilas oppii matematiikan tunnilla perustelemaan omat mielipiteensä/väittämänsä, kun opettaja sitä vaatii. Opettajan on tiedettävä, että negatiivisilla puheilla ja asenteilla vaikuttaa oppilaankin maailmankuvaan negatiivisesti. Opettajalla on suuri vastuu.

- Se parhaiten nauraa, joka viimeksi nauraa. Luultavasti Fermat’n suuren lauseen todistaja nauroi ensimmäisenä kaikkein makeimmin!
- Vanha koira ei opi uusia temppuja. Miksi ikäihmiset lukevat yliopistossa matematiikkaa?
- Alku aina hankalaa, lopussa kiitos seisoo. Tutkimuksen tekeminen: aineiston ”kahlaaminen” voi olla alussa helppoa, mutta varsinaisten tulosten ja päätelmien tekeminen saattaa vaatia kovia ponnistuksia.

1. Lähtökohta on luonnolliset luvut 1, 2, …, 9. Tehtävä on muodostaa niistä mahdollisimman monta laskulauseketta sopivia laskutoimitusmerkkejä käyttäen (myös desimaalipilkun käyttö on sallittua) numeroiden järjestystä vaihtamatta, kutakin numeroa vain kerran käyttäen, siten että tulos on aina 100.

Esim. 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

Taktillisille oppijoille puuhaa, ja muille hyvä harjoite käsien käyttöön:

2. Jaa neliö, jonka sivun pituus on 1,

a) viideksi kolmioksi, joista jokaisen pinta-ala on alle 0,21.

b) viideksi kolmioksi, joiden pinta-alat muodostavat geometrisen sarjan.

c) viideksi tasakylkiseksi kolmioksi, jotka ovat kaikki erimuotoisia.

d) seitsemäksi tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi, jotka ovat kaikki erikokoisia.

e) kahdeksaksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden kateettien pituuksien suhde on 1:2, ja jotka ovat kaikki erikokoisia.

f) kahdeksaksi teräväkulmaiseksi kolmioksi.

g) kahdeksaksi kolmioksi, joista yhdessäkään ei ole sivua, jonka pituus on yli 5/8.

3.      Talossa asuu kaksi poikaa. He ovat syntyneet samana päivänä samassa kuussa samana vuonna. Heillä on sama äiti ja sama isä. Kuitenkaan pojat eivät ole kaksosia. Kuinka tämä on mahdollista?

4.     Kolme kissaa pyydystää kolme rottaa kolmessa päivässä. Kuinka monta kissaa tarvitaan pyydystämään sata rottaa sadassa päivässä?

5.      Tiiliskivi painaa kilon ja puoli tiiltä. Montako kiloa painaa kaksi tiiltä? Mieti tähän tehtävään useampi kuin yksi tapa havainnollistaa tai esittää ratkaisu.

6.         Korvaa kirjaimet numeroilla niin, että laskutoimitukset ovat oikein. (Jokaiseen tehtävään on vain yksi ratkaisu.)

a)                   A x BA =  CB

b)                   D x DE = FFF

c)                   G x HI = III

d)                   J x KL = KKK

e)                   M x MN = NMM

f)                     O x PQ = QPP

g)                  RS x RR = RRS

h)                  TT x TT = TUT

i)                    VV x VW = WWX

Taas pohdittavaksi: Mitä oheisten tehtävien kaltaisten harjoitteiden kautta opitaan?

Tehtävät kehittävät yksilön loogista päättelykykyä. Tehtävät helpottavat selviytymään arkipäivän ongelmista.

Jännää nähdä, kuinka aktiivisesti jaksan olla kirjoittelemassa juttuja, tarinoita, turhia löpinöitä tänne…

-L-

Oppitunnin aiheena oli geometrisia kuvioita, joten luontevaa oli aloittaa nimeämällä kappaleita. Luontevaa oli luoda mielikuvia, joten päätettiin että minä kun olen tällainen pyöreä, tai ainakin pyöreämpi ja isompi kuin muut, niin olen tuo pyöreä kuvio: ympyrä. Samoin Heikki ainakin yhtä leveenä kuin pitkänä on tuollainen suorakaide. Viimeiseksi jäi sitten kolmas kuvio, joten päätettiin Heikin kanssa esittää kärjellään seisovassa kolmiossa luokan varsinaista opettajaa, jonka nimesin tässä Jarmoksi, kun en kyennyt muistamaan Jarmoa satavarmasti Jarmoksi.

Seuraavana oli vuorossa jumppa. Jumpatessa piirsimme ilmaan muotoja: ympyröitä, kolmioita, suorakaiteita. Kaikista huvittavinta koko touhussa oli nähdä takarivissä olevien seuraajien eli teidän hyvät auskukollegat ilmeet. Näki kuinka moni teistä, kuten minäkin, putosi lapsen tasolle ja eläytyi mukana. Taisipa joku jumpatakin. Voin myöntää, että seuraavana kahtena päivänä oli etureidet niin jumissa, että liekö ollut koskaan. Niin täysillä eläydyin pikkulasten jumppaan. Tietysti yritin näyttää esimerkkiä ja korostaa kuinka pitkälle tai korkealle se jalka nousee…

Tästä voisin kertoilla lisää, mutta annan mielelläni Heikillekin mahdollisuuden turinoida Veittijärvestä ja pienten lasten jekuttamisesta.

Syventävän harjoittelun viimeinen opetusjakso lähenee viikolla 11-12. Alla ajankohdat.

MAB2 / Lassi Kiviniemi / [Tuija Alatalo]

• 13.3. klo 13:00 – 14:15, H210
• 16.3. klo 8:00-9:15, H210
• 17.3. klo 8:00-9:15, H210

Luovuus, mitä se on?

Muistan usein sanoneeni, että minä en ole mikään luova persoona. En nimittäin osaa piirtää kuin auringon suurinpiirtein oikein (ja sekin on kuulemma haukkumisen arvoinen suoritus). Mutta tällä tunnilla havaitsen luovuuden olevan aika paljon muuta. Puhetta oli elämyksistä, joita syntyy vapaasta luovuudesta. Tehtävän varsinainen ongelma voi monissa tehtävissä olla hämärän peitossa. Tehtävän ratkaisemisessa on tehokkaampaa pilkkoa suuri ongelma pienempiin ratkaistaviin ongelmiin sen sijaan, että antaa oppilaalle valmiin ratkaisun tai ratkaisumallin muistettavaksi.

Seminaarissa suoritettiin luovuuden harjoitteita. Muun muassa kasvojen alku tai hevosenkenkä ja auton katto hämmästytti. Hauskaa oli kehitellä lauseita sanoista, joiden alkukirjaimina olivat R A V ja O. Erittäin addiktoiva oli harjoitus vuosiluvuista, joihin laskutoimituksia sijoittamalla piti saada lukuja nollasta eteenpäin. Yhtään sen enempää itseäni kehumatta mainitsen, että luvusta 1323 sain muodostettua luvut 0-21, luvusta 1985 sain luvut 0-13, luvusta 2009 sain luvut 0-11. Tehtävän addiktoituvuudesta (?) johtuen tehtävää huomasin jatkettavan seuraavan seminaarin aikana useammallakin taholla minun lisäkseni.

Didaktiikka 3

Tunnin aikana mieleen jäi erityisesti soveltavien tehtävien kehittely ja niiden arviointi siinä mielessä, kuinka hyvin ne toimivat matematiikan maailmaan sijoittamisessa. Kehittelimme Harin, Heikin ja Mikan kanssa jotakin. Ensimmäisenä esille nousivat optimointitehtävät, erilaiset yhtälönratkaisu/yhtälöparitehtävät kuten uima-altaan ympäryksen laatoitus, funktion nollakohdat. Funktion nollakohtia kehittelimme pitkään, pääsemättä loppujen lopuksi kovinkaan tehokkaisiin ja helposti käyttöön otettaviin tehtäviin. Idea oli laskea, milloin seuraavan kerran pääsee pelaamaan jääkiekkoa ulkojäille, kun lämpötila noudattaa yhtälöä: f(t)=3sin(toiseen)t+2sint+5. Lopuksi tuli vielä mieleen mäkihyppy ja keihäänheitto: missä lasketaan optimaalisia heittokulmia.

Loppuverryttelynä tehtävä ratkaistavaksi:

Kun koululaisbussissa on kuljettajan lisäksi 40 oppilasta. Jokaisella oppilaalla on reppu mukanaan. Jokaisen oppilaan repussa on yksi emokissa. Jokaisella emokissalla on mukanaan 7 pientä kissanpentua. Nämä kissat aiheuttavat bussimatkan aikana useita astmakohtauksia, mutta tehtävän idea ei ole se vaan: Kuinka monta jalkaa bussissa on?

Tehtävän ratkaisuehdotuksia voi kommentoida…